<T->
          Matemtica e realidade
          6 ano
            
          Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado
          
          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          6 edio -- 2009, 
          So Paulo,  
          Editora Atual.

          Terceira Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
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          Tel.: (21) 3478-4400
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,  
          -- 2011 --
<P>
          (C) Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado, 2009.

          ISBN 978-85-357-1063-2
  
          Gerente editorial: 
          Lauri Cericato 
          Editora: Teresa Christina W. P. de Mello Dias 
          Editora assistente: 
          Edilene Martins dos Santos 
          Licenciamento de textos: 
          Stephanie Santos Martini 
          
          Todos os direitos reservados
          Copyright desta edio: 
          Saraiva S.A. Livreiros 
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          Fax vendas: (11) 3611-3268 
          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
<p>          
                              I
Sumrio

Terceira Parte

Unidade 4 -- Divisores 
  e mltiplos nos nmeros 
  naturais 
 Captulo 8- 
  Divisibilidade ::::::::::: 253
Noo de divisibilidade :::: 254
Captulo 9- Nmeros 
  primos :::::::::::::::::::: 277
O que  nmero primo? :::::: 277
Captulo 10- Decomposio 
  em fatores primos ::::::::: 289
Decomposio em produto :::: 290
Fatorao de um nmero ::::: 294 
Captulo 11- Divisores 
  de um nmero; mximo 
  divisor comum ::::::::::::: 301
Divisores :::::::::::::::::: 302
Mximo divisor comum 
  (mdc) ::::::::::::::::::: 313
Captulo 12- Mltiplos de 
  um nmero; mnimo mltiplo 
  comum ::::::::::::::::::::: 319
Os nmeros pares ::::::::::: 321
Os mltiplos de um 
  nmero :::::::::::::::::::: 322
Mnimo mltiplo comum 
  (mmc) ::::::::::::::::::: 327
Captulo 13- Clculo do 
  mdc e do mmc :::::::::::::: 331 
Calculando o mdc de dois ou 
  mais nmeros :::::::::::::: 332
Calculando o mmc de dois ou 
  mais nmeros :::::::::::::: 340
Calculando o mdc e o mmc ::: 345 
Matemtica no tempo -- 
  Pitgoras e as 
  propriedades dos 
  nmeros ::::::::::::::::::: 373
<111>
<T mat. realidade 6>
<t+253> 
Unidade 4 -- Divisores e 
  mltiplos nos nmeros naturais 

<R+>
<F->
Captulos: 
8- Divisibilidade 
9- Nmeros primos 
10- Decomposio em fatores 
  primos 
11- Divisores de um nmero; 
  mximo divisor comum 
12- Mltiplos de um nmero; 
  mnimo mltiplo comum 
13- Clculo do mdc e do mmc
<F+>
<R->

<112> 
Captulo 8- Divisibilidade

As caixas de bolas de tnis 

  A produo diria de uma fbrica de bolas de tnis  de 17.482 bolas. As caixas de embalagem so para 3 bolas.  possvel embalar o total de bolas deixando todas as 
<p>
caixas cheias? E se a produo for aumentada para 54.321 bolas? 
  Vamos efetuar as divises: 
 17.4823=5.827 resto 1
 54.3213=18.107 resto 0
  Percebemos que, no primeiro caso, sobra 1 bola; no segundo, nenhuma. 
  Na produo de 54.321 bolas, teremos todas as caixas cheias, sem sobra. 
  Por isso, dizemos que 54.321  divisvel por 3 (a diviso  exata, com resto 0), enquanto 17.482 no  divisvel por 3 (o resto no  0). 
   possvel saber a resposta sem precisar dividir? Sim. Vamos aprender se um nmero  divisvel por 2, por 3, por 4, por 5 e por outros nmeros, sem efetuar a diviso. 

Noo de divisibilidade 

  Um nmero natural  divisvel por outro quando a diviso do 
<p>
primeiro pelo segundo  exata (resto igual a zero). 
<113>

Exerccios

<R+>
1. Fazendo a lio de Matemtica, Jlia concluiu que: 
<R->
 a) 427  divisvel por 7. 
  4277=61 resto 0
 b) 680  divisvel por 12. 
  68012=55 resto 0
 c) 53 no  divisvel por 5. 
  535=10 resto 3
 d) 209 no  divisvel por 11. 
  20911=18 resto 1
<R+>
  Nem tudo o que Jlia fez est correto. Refaa a lio, corrigindo o que ela errou. 
<R->

  Lembre-se de que os nmeros naturais pares so os que terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8. Os que terminam em 1, 3, 5, 7 ou 9 so os mpares. 
<p>
<R+>
<F->
2. Dados os nmeros 52, 63, 237, 400, 1.106, 611, divida-os por 2 e responda: 
a) Que resto voc encontrou na diviso de nmeros pares por 2?  
b) Que resto voc encontrou na diviso de nmeros mpares por 2?  
c) Os nmeros pares so divisveis por 2? Por qu?  
d) Os nmeros mpares so divisveis por 2? Por qu? 
e) Copie no seu caderno e complete: 
  Os nmeros divisveis por 2 so nmeros ''' 

3. Sem efetuar divises, identifique os nmeros divisveis por 2: 
12 -- 102 -- 11.101 -- 1.234 -- 0 -- 3.347 -- 78 -- 134 -- 1 -- 3 -- 555 -- 13.890 
<F+>
<R->

  Um nmero  divisvel por 2 quando ele  par. 
<p>
<F->
<R+>
4. Cludio est fazendo 25 anos. Dos 11 anos at hoje, quantas vezes ele teve idades representadas por um nmero divisvel por 2?  

5. So dados os nmeros 245, 372, 447, 1.468 e 2.445. 
a) Efetue a diviso desses nmeros por 3. 
b) Identifique quais so divisveis por 3. Depois, reproduza em seu caderno as tabelas a seguir e complete-as. 

_`[{tabela em trs colunas:
  1 nmero divisvel por 3;
  2 soma de todos os algarismos do nmero;
  3 a soma  divisvel por 3?_`]

 !::::::::::::::::
 l 1  _ 2 _ 3 _
 r::::::w:::::w:::::w
 l '''  _ ''' _ ''' _
 h::::::j:::::j:::::j

<P>
_`[{tabela em trs colunas:
  1 nmero no divisvel por 3;
  2 soma de todos os algarismos do nmero;
  3 a soma  divisvel por 3?_`]

 !::::::::::::::::
 l 1  _ 2 _ 3 _
 r::::::w:::::w:::::w
 l '''  _ ''' _ ''' _
 h::::::j:::::j:::::j

c) No seu caderno, copie e complete: 
  Nos nmeros divisveis por 3, a soma de todos os algarismos ''' um nmero divisvel por 3. 
<114>

6. Sem efetuar divises, identifique os nmeros divisveis por 3: 
12 -- 102 -- 11.101 -- 1.234 -- 0 -- 3.347 -- 78 -- 134 -- 1 -- 3 -- 555 -- 13.890
<F+>
<R->

  Um nmero  divisvel por 3 quando a soma dos seus algarismos  divisvel por 3. 
<p>
<F->
<R+>
7. Se forem embaladas 19.726 figurinhas em pacotes com 3 unidades e se todos os pacotes ficarem cheios, vai sobrar alguma figurinha? Quantas figurinhas vo sobrar? E se forem 59.175 figurinhas? 
8. Resolva o problema das caixas de bolas de tnis (no incio deste captulo) sem efetuar divises. 
9. Considere os nmeros 20, 27, 30, 35, 54, 93, 122 e 216. Reproduza em seu caderno a tabela a seguir e complete-a com esses nmeros: 

_`[{tabela adaptada; contedo a seguir_`]
Nmero ...
 divisvel por 2? ...
 divisvel por 3? ...
 divisvel por 2 e por 3? ...
<p>
10. Divida por 6 os nmeros do exerccio anterior que so divisveis por 2 e tambm por 3. Qual  o resto de cada diviso?  

11. Faa, no seu caderno, o que se pede em cada item. 
a) Reproduza a tabela a seguir e complete-a com os nmeros 158, 99, 731, 192 e 846: 

_`[{tabela adaptada; contedo a seguir_`]
Nmero ...
 divisvel por 2? ...
 divisvel por 3? ...

b) Copie no seu caderno e complete: 
  Os nmeros divisveis por 6 tambm so divisveis por ''' e por ''' 

12. Quais dos nmeros a seguir so divisveis por 6?  
12.300 -- 41.102 -- 56.789 -- 67.890 -- 70.234 -- 112.704 
<F+>
<R->  
<p> 
  Um nmero  divisvel por 6 quando  divisvel por 2 e por 3. 

<R+>
<F->
13. Copie no seu caderno o quadro a seguir: 

!::::::::::::::::::::::::::::::::
l  102 103 104 105 106 107 _
l  108 109 110 111 112 113 _
l  114 115 116 117 118 119 _
h::::::::::::::::::::::::::::::::j

a) Escreva os nmeros divisveis por 2. 
b) Escreva os nmeros divisveis por 3.
c) Escreva todos os nmeros compreendidos entre 101 e 120 que so divisveis por 6. 
<115>

14. Efetue em seu caderno as divises por 5: 
3.4275=... resto ...
2755=... resto ...
4.6805=... resto ...
6935=... resto ...
<P>
  Observe os resultados obtidos e responda s seguintes questes: 
a) O nmero 3.427  divisvel por 5? Em que algarismo ele termina? 
b) 275  divisvel por 5? Em que algarismo ele termina? 
c) 4.680  divisvel por 5? Em que algarismo ele termina? 
d) 693  divisvel por 5? Em que algarismo ele termina? 
e) Os nmeros divisveis por 5 terminam em que algarismo? 

15. Em que algarismos terminam os resultados da tabuada do 5?  

16. Sem efetuar divises, identifique, entre os nmeros a seguir, os que so divisveis por 5: 
13 -- 75 -- 96 -- 210 -- 13.260 -- 1 -- 888 -- 5 -- 0 -- 12.345 -- 4.080 -- 7.346
<F+>
<R->

  Um nmero  divisvel por 5 quando termina em 0 ou 5.
<P>
<R+>
<F->
17. Forme quatro nmeros de trs algarismos usando 4, 1 e outro algarismo  sua escolha. Todos os nmeros devem ser divisveis por 5. 

18. Que algarismos esto faltando? 
a) 74y  divisvel por 3. 
b) #h.gfy  divisvel por 3 e por 5.  

19. O nmero 26y tem trs algarismos, mas no  possvel ler o ltimo algarismo porque est borrado. Sabendo que o nmero  divisvel por 2 e por 3, descubra o terceiro algarismo desse nmero.  

20. Um nmero de trs algarismos comea por 7 e termina por 3. 
  O algarismo do meio  desconhecido. #gyc
<P>
  Descubra que algarismo deve ser esse, se eu quiser que o nmero seja divisvel: 
a) por 2; 
b) por 3.

21. Observe os nmeros do quadro: 

_`[{quadro adaptado, em seis colunas; contedo a seguir_`]
1) 0 -- 543.210 -- 7 --
  3.475
2) 10 -- 3 -- 130 --
  132.000
3) 2 -- 1 -- 94 -- 5
4) 12.345 -- 1.001 -- 4 --
  8
5) 6 -- 70 -- 111.111 -- 415
6) 402 -- 9 -- 911 -- 117

a) Quantos nmeros so divisveis por 2?
b) Quais so divisveis por 3?
<p>
c) Quantos nmeros so divisveis por 5? 
d) Quais so divisveis por 6? 
e) E quais so divisveis por 2 e tambm por 5? 
  Observe os nmeros indicados na resposta do item anterior e responda: 
f) Em que algarismos esses nmeros terminam?  
g) Divida cada um deles por 10. Qual  o resto de cada diviso?  
h) Copie no caderno e complete: 
 Os nmeros divisveis por 10 so os que terminam em '''

<116>
22. Sem efetuar divises, indique quais dos nmeros a seguir so divisveis por 10:  
270 -- 1.998 -- 902 -- 1.001 -- 1.100 -- 3.000 
<F+>
<R->

  Um nmero  divisvel por 10 quando termina em 0. 
<p>
<R+>
<F->
23. Um mercadinho vende mas em embalagens com 4 unidades cada uma. 
a) Dividindo uma caixa com 100 mas em embalagens com 4 unidades, vai sobrar alguma ma fora das embalagens? Por qu? 
b) E se forem 2 caixas de 100 mas cada uma, sobraro mas fora das embalagens? O que se pode concluir sobre o nmero 200 em relao ao nmero 4? 
c) Se forem 15 caixas de 100 mas cada uma, vai sobrar ma? O que se pode concluir sobre o nmero 1.500 em relao ao nmero 4? 
d) O que se pode concluir sobre os nmeros terminados em 00 em relao ao nmero 4?  

24. Observe as adies a seguir e responda: 
a) 1.600+28=1.628 
  1.600  divisvel por 4? 
  28  divisvel por 4? 
  1.628  divisvel por 4?  
<p>
b) 12.400+34=12.434 
  12.400  divisvel por 4? 
  34  divisvel por 4? 
  12.434  divisvel por 4? 

25. Copie a tabela em seu caderno e complete-a. Use a calculadora para fazer as divises quando achar necessrio. 

_`[{tabela adaptada em quatro colunas: 
  1) Nmero dado 
  2)  divisvel por 4?
<p>
  3) Nmero formado pelos 
  dois ltimos algarismos 
  4)  divisvel por 4?_`]
<F+>
<R->

 !:::::::::::::::::::::::::
 l 1      _ 2 _ 3 _ 4 _
 r::::::::::w:::::w:::::w:::::w
 l 316     _ sim _ 16 _ sim _
 r::::::::::w:::::w:::::w:::::w
 l 4.148   _ ''' _ 48 _ ''' _
 r::::::::::w:::::w:::::w:::::w
 l 13.126  _ ''' _ ''' _ ''' _
 r::::::::::w:::::w:::::w:::::w
 l 47.108  _ ''' _ ''' _ ''' _
 r::::::::::w:::::w:::::w:::::w
 l 11.222  _ ''' _ ''' _ ''' _
 r::::::::::w:::::w:::::w:::::w
 l 101.010 _ ''' _ ''' _ ''' _
 r::::::::::w:::::w:::::w:::::w
 l 123.456 _ ''' _ ''' _ ''' _
 h::::::::::j:::::j:::::j:::::j

<R+>
<F->
  Compare, em cada linha, as respostas da segunda e quarta colunas e responda s questes. 
a) Nos nmeros divisveis por 4, os dois ltimos algarismos formam nmero divisvel por 4? 
<p>
b) Nos nmeros no divisveis por 4, os dois ltimos algarismos formam nmero divisvel por 4? 

26. Entre os nmeros 336, 540, 1.608, 1.776, 3.458 e 18.092, quais so divisveis por 4? 
<F+>
<R->

  Um nmero  divisvel por 4 quando seus dois ltimos algarismos fomam um nmero divisvel por 4. 
<117>

Texto para os exerccios 27 e 
  28. 

  Nos anos bissextos -- que ocorrem de quatro em quatro anos --, o ms de fevereiro tem 29 dias. Os nmeros correspondentes a anos bissextos so divisveis por 4. Mas ateno: os anos terminados em 00 s so bissextos quando so divisveis por 400. 

<R+>
27. A folha do calendrio est rasgada e no conseguimos saber de que ano ele . 

_`[{figura de um calendrio. No topo da folha est indicado o ms e o ano, da seguinte forma: fevereiro 201y_`]

  Com base no texto anterior, ficamos em dvida entre dois anos. Quais so eles? 

<R+>
<F->
28. Sobre os anos bissextos, responda: 
a) Que anos da dcada de 2021 a 2030 sero bissextos? 
b) O ano 3000 ser bissexto? Por qu?  
c) O ano em que voc nasceu foi bissexto? 

29. O nmero 1.000  divisvel por 8. Podemos provar fazendo a diviso: 
1.0008=125 resto 0 
  Sabendo disso e com base numa 
<p>
  situao prtica, sem efetuar a diviso, explique: 
a) por que 2.000 tambm  divisvel por 8; 
b) por que 15.000 tambm  divisvel por 8; 
c) por que todo nmero terminado em 000  divisvel por 8. 

30. Use calculadora, se necessrio, e responda: 
a) 54.000  divisvel por 8? E 160? E 54.160? 
b) 60.000  divisvel por 8? E 100? E 60.100? 
c) 216.000  divisvel por 8? E 432? E 216.432? 
d) 27.000  divisvel por 8? E 746? E 27.746? 
e) 111.000  divisvel por 8? E 25? E 111.025? 
f) Nos nmeros divisveis por 8, os trs ltimos algarismos formam nmero divisvel por 8?  
<p>
31. Identifique entre os nmeros a seguir os que so divisveis por 8: 
45.040 -- 43.008 -- 420.964 -- 132.028 -- 28.736 -- 531.000 -- 964.024 -- 456.064  
<F+>
<R->

  Um nmero  divisvel por 8 quando os trs ltimos algarismos formam um nmero divisvel por 8. 

<R+>
<F->
32. Verifique se os nmeros a seguir so divisveis por 9. Use calculadora se precisar. 
a) 720 e 7+2+0 
b) 477 e 4+7+7 
c) 1.348 e 1+3+4+8 
d) 2.466 e 2+4+6+6 
e) 30.218 e 3+0+2+1+8 
  Agora responda: 
f) Nos nmeros divisveis por 9, a soma dos algarismos tambm  divisvel por 9? 
g) Nos nmeros no divisveis por 9, a soma dos algarismos  divisvel por 9? 
<F+>
<R->
<118>
<p>
Os matemticos descobriram: 

  Um nmero  divisvel por 9 quando a soma de seus algarismos  divisvel por 9. 

<R+>
<F->
33. Sem efetuar a diviso, responda: Quais dos nmeros a seguir so divisveis por 9? 
945 -- 108 -- 1.378 -- 4.698 -- 10.101 -- 30.222

34. O jornaleiro me disse que, com o dinheiro que eu tinha, poderia comprar mais de 440 figurinhas e menos de 470. Quantas figurinhas eu posso comprar, se preciso reparti-las em quantidades iguais entre mim e meus 8 primos? 

35. Responda se o nmero 1.234.567.890  ou no  divisvel: 
a) por 2
b) por 3
c) por 4  
d) por 5 
e) por 6 
f) por 8 
g) por 9 
h) por 10 
  Explique por que, sem efetuar divises. 

36. Para responder a estas perguntas voc precisa fazer as divises: 
a) 1.243  divisvel por 7?
b) 100.001  divisvel por 11? 

37. Divida 589 por 13 e, em seguida, responda s perguntas: 
a) A diviso  exata? 
b) Qual  o resto dessa diviso?  
c) Que valor devemos subtrair de 589 para que o quociente permanea o mesmo e a diviso seja exata? 
d) Qual  o menor valor que devemos somar com 589 para que a diviso fique exata? 
<P>
38. Observe o envelope e responda: 

_`[{no verso do envolope h as seguintes informaes: "Remetente: Mltiplo S.A. Av. 
  Kennedy, 11.111_`]

a) O nmero do prdio da Mltiplo S.A.  divisvel por 11?  
b) Qual  o menor nmero natural que devemos adicionar a 11.111 para obter um nmero divisvel por 11? 
c) Qual  o menor nmero natural que devemos subtrair de 11.111 para obter um nmero divisvel por 11? 

39. Leia com ateno as afirmaes a seguir: 
 Todo nmero natural  divisvel por 1. 
 O nmero 0  divisvel por todo nmero natural no nulo. 
<P>
 Todo nmero natural no nulo  divisvel por ele mesmo. 
 Todo nmero natural maior do que 1  divisvel por 1 e por ele mesmo. 

  Voc concorda com todas essas afirmaes? Ou, na sua opinio, alguma delas est errada? Por qu? 
<F+>
<R->

Desafio

Que nmero  esse? 

   um nmero maior que 200 e menor que 250. 
   divisvel por 2, por 3 e por 5. 
  No  divisvel por 7.

               ::::::::::::::::::::::::
              
<119>
<p>
Captulo 9- Nmeros primos

O que  nmero primo? 

  No quadro a seguir esto representados os nmeros naturais de 2 a 50: 

_`[{quadro adaptado_`]
<F->
<R+>
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
<F+>
<R->
_`[{fim do quadro_`]

  Fazendo um crculo no nmero 2 e, em seguida, apagando todos os outros nmeros que so divisveis por 2, que nmeros permanecem? 
<p>
<R+>
_`[{nos quadros, a seguir, o crculo vermelho foi substitudo pelo grifo; os smbolos  representam um espao vazio_`]

  Observe: 

_`[{quadro adaptado_`]
<R->
<F->
 *2* 3  5  7  9 
11  13  15  17  19 
21  23  25  27  29 
31  33  35  37  39 
41  43  45  47  49 
<F+>
_`[{fim do quadro_`]

  Agora, circulando o nmero 3 e apagando todos os outros nmeros que so divisveis por 3, quais nmeros ainda ficam? 

_`[{quadro adaptado_`]
  *2* *3*  5  7   
 11  13    17  19 
   23  25    29 
 31    35  37   
 41  43    47  49 
_`[{fim do quadro_`]
<p>
  Fazendo agora um crculo em volta do prximo nmero, que  o 5, e, em seguida, apagando todos os outros nmeros divisveis por 5, quais nmeros ainda continuam? 
  Verifique: 

_`[{quadro adaptado_`]
<F->
<R+>
 *2* *3*  *5*  7   
11  13    17  19 
  23      29 
31      37   
41  43    47  49 
<R->
<F+>
_`[{fim do quadro_`]
<120>

  Se prosseguirmos fazendo assim -- colocando um crculo no primeiro nmero no assinalado e apagando os demais nmeros que so divisveis por ele -- sobraro apenas os nmeros que foram assinalados 
<p>
com o crculo. Veja agora os nmeros que permanecem no quadro: 

_`[{quadro adaptado_`]
<R+>
<F->
 *2* *3* *5*  *7*   
*11*  *13*    *17*  *19* 
  *23*      *29* 
*31*      *37*   
*41*  *43*    *47*   
_`[{fim do quadro_`]
<F+>
<R->

  Esses so nmeros primos. Voc sabe o que  um nmero primo? 
  
  Um nmero natural e maior que 1  primo quando s  divisvel por 1 e por ele mesmo. 

  Os nmeros 2, 3, 5, 7, 11 e 13, por exemplo, so nmeros primos. Cada um deles  divisvel por dois nmeros: 1 e ele mesmo. 
<p>
  Nmeros como 4, 6, 8, 9, 10, 12 e 15 so chamados nmeros compostos. Cada um deles  divisvel por mais de dois nmeros. 

  Um nmero natural e maior que 1  composto quando  divisvel por mais de dois nmeros naturais. 

  Observe que, de acordo com o explicado anteriormente, os nmeros 0 e 1 no entram na classificao de primo ou composto. O nmero 0  divisvel por mais de dois nmeros naturais ( divisvel por 1, por 2, por 3, por 4, etc.). Por isso,  considerado nmero composto. 
  J o nmero 1, que s  divisvel por ele mesmo, no  considerado primo nem composto. 
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
40. Responda s questes sobre nmeros primos: 
a) O nmero 21  divisvel por quanto? 21  primo? 
b) O nmero 23  divisvel por quanto? 23  primo? 

41. Existe um nmero par que tambm  nmero primo. Qual  esse nmero?  

42. D trs exemplos de: 
a) nmeros mpares primos; 
b) nmeros mpares compostos. 
<121>

43. Voc conheceu os nmeros primos at 50. 
a) Quais so eles? 
b) Agora, copie em seu caderno o quadro com os nmeros naturais 
  maiores que 50 e menores que 100. 
<F+>
<R->
<P>
_`[{quadro adaptado_`]
<F->
51 -- 52 -- 53 -- 54 -- 55 -- 
  56 -- 57 -- 58 -- 59
60 -- 61 -- 62 -- 63 -- 64 --
  65 -- 66 -- 67 -- 68 -- 
  69 
70 -- 71 -- 72 -- 73 -- 74 --
  75 -- 76 -- 77 -- 78 --
  79
80 -- 81 -- 82 -- 83 -- 84 --
  85 -- 86 -- 87 -- 88 -- 89 
90 -- 91 -- 92 -- 93 -- 94 --
  95 -- 96 -- 97 -- 98 -- 
  99
<F+>
_`[{fim do quadro_`]

<R+>
c) Descubra os nmeros primos existentes entre 50 e 100, procedendo da seguinte maneira: 
  Primeiro, elimine os nmeros divisveis por 2, 3, 5 e 7. 
  Depois, verifique se cada nmero que sobrou  primo ou no.
<R->
<p>
Como reconhecer um nmero 
  primo 

  H infinitos nmeros primos. 
  Para saber se um nmero  primo, devemos dividi-lo sucessivamente pelos nmeros primos (2, 3, 5, 7, etc.) e verificar o que acontece: 
<R+>
 Encontrando um resto zero, o nmero no  primo. 
 Se nenhum resto  zero, o nmero  primo. Nesse caso, s precisamos fazer as divises at obter um quociente menor ou igual ao divisor. 
<R->
  Veja, por exemplo, o nmero 197: 

  O nmero 197  primo ou composto?

<R+>
<F->
 197 no  divisvel por 2, porque no  par. 
 197 no  divisvel por 3, porque a soma dos seus algarismos (1+9+7=17) no  divisvel por 3. 
 197 no  divisvel por 5, porque no termina em zero ou 5. 
 197 no  divisvel por 7, porque nessa diviso ocorre resto 1. 
  O quociente (28)  maior que o divisor (7). 
  1977=28 resto 1
 197 no  divisvel por 11, porque nessa diviso ocorre resto 10. 
  O quociente (17)  maior que o divisor (11). 
  19711=17 resto 10
 197 no  divisvel por 13, porque nessa diviso ocorre resto 2. 
  O quociente (15)  maior que o divisor (13). 
  19713=15 resto 2
 197 no  divisvel por 17, porque nessa diviso ocorre resto 10. 
  O quociente (11)  menor que o divisor (17). 
  19717=11 resto 10
<F+>
<R->
  No precisamos continuar as divises. Como no encontramos nenhum resto igual a zero at obter um quociente menor que o divisor, conclumos que 197  nmero primo. 
<122>

Exerccios

<R+>
<F->
44. Classifique cada nmero a seguir em primo ou composto. 
a) 127  
b) 217 
c) 271 
d) 721 

45 Descubra: 
a) Qual  o menor nmero primo maior que 500? 
b) Qual  o menor nmero primo maior que 800? 

46. Observe os nmeros a seguir: 
101 -- 3.876 -- 417 -- 172 -- 247 -- 715 -- 173 -- 177 -- 179 -- 421 -- 175 -- 277 -- 423 -- 425 -- 427 -- 429 
<p>
  Quais so nmeros primos e quais so nmeros compostos? 

47. Responda s questes a seguir: 
a) Qual  o menor nmero natural primo que se escreve com quatro algarismos? 
b) Qual  o maior nmero primo que se escreve com trs algarismos? 

48. Use os algarismos 2, 4 e 9, uma vez cada um, para formar nmeros de trs algarismos. 
a) Quantos nmeros voc pode formar? 
b) Quais desses nmeros so primos? 
<F+>
<R->

Desafios

O aniversrio do professor 

  Quando questionado sobre sua data de aniversrio, o professor 
<p>
Nicolau, que s pensa em Matemtica, sempre prope um enigma: 
  -- O dia em que nasci  um nmero primo maior do que o quadrado e menor que o cubo do ms em que nasci. A soma do dia com o ms tambm d um nmero primo, mas a diferena no. Responda voc: Quando eu nasci?  

Fim de um sculo e incio 
  de outro 

  Quais destes anos so nmeros primos? 
 1999 -- 2003 -- 2009 -- 2011
  Use uma calculadora para fazer as divises necessrias.

               ::::::::::::::::::::::::
<123>
<p>
Captulo 10- Decomposio em 
  fatores primos 

As idades dos irmos 

  As idades de dois irmos somam a idade do pai deles: 45 anos. 
  Se as idades dos irmos forem multiplicadas, o nmero que se obtm  o da idade completada pelo Brasil no ano 2000. 
  Qual  a idade do irmo mais velho? 
  Em 2000 o Brasil completou 500 anos. Logo, o produto das idades  500. 
  Vamos analisar as multiplicaes de resultado 500: 
 1500 
 2250 
 4125 
 5100 
 1050 
 2025 
  Como a soma das idades  45 anos, elas s podem ser 20 e 25 
<p>
anos. Ento, o mais velho tem 25 anos. 

Decomposio em produto 

  Resolvemos o problema anterior analisando multiplicaes possveis de resultado 500, isto , fizemos decomposies de 500 em produto. 

  Decompor um nmero em produto  indicar uma multiplicao que d como resultado aquele nmero. 

Exerccios

<R+>
<F->
49. Num colgio h duas classes de 6 ano, uma delas com 5 alunos a mais que a outra. Multiplicando o nmero de alunos das duas classes, o resultado d 300. Quantos alunos tem cada classe?  
50. A professora de Matemtica pediu aos alunos da classe que formassem grupos para fazer um trabalho. Todos os grupos deviam ter o mesmo nmero de alunos; era preciso formar mais de um grupo, e ningum poderia ficar sozinho. Como a classe tem 36 alunos, poderiam ser formados, por exemplo, 4 grupos com 9 alunos (49=36). Existem outras possibilidades de formao desses grupos. Quais so elas?  
<124>
51. Escreva todas as multiplicaes possveis com as seguintes caractersticas: 
 apenas dois fatores; 
 os fatores so nmeros naturais; 
 produto igual a 60.

52. Considere o nmero 60. 
a) Escreva trs modos de decompor esse nmero em produto, com mais de dois fatores. 
b) Existe um modo de decompor o nmero 60 em que todos os fatores so nmeros primos. Faa essa decomposio. 

53. Agora considere o nmero 40. 
a) Ele  primo ou composto?  
b) Ele  divisvel por quais nmeros naturais?  
c) Decomponha o nmero 40 em produto, de modo que todos os fatores sejam primos. 
<F+>
<R->

  Todo nmero natural maior do que 1 ou  primo ou pode ser decomposto num produto de fatores primos. 

A fatorao de 60 

  Qual  o menor nmero primo pelo qual 60  divisvel? Como 60  par,  divisvel por 2. 
<R+>
602=30 resto 0. O quociente dessa diviso  30. 
<R->
  Agora, vamos encontrar o menor nmero primo pelo qual 30  divisvel. Como 30  par,  divisvel por 2. 
 602=30 resto 0 
<R+>
 302=15 resto 0. O quociente dessa diviso  15. 
<R->
  Vamos agora encontrar o menor nmero primo pelo qual 15  divisvel. Como 15  mpar, no  divisvel por 2, mas  divisvel por 3. 
 602=30 resto 0 
 302=15 resto 0
<R+>
 153=5 resto 0. O quociente dessa diviso  5. 
<R->
  Se repetirmos esse procedimento at encontrar quociente 1, obteremos: 
 602=30 resto 0
 302=15 resto 0
 153=5 resto 0
 55=1 resto 0
  O que fizemos foi aplicar uma tcnica para decompor o nmero em 
fatores primos. Se calcularmos cada uma das divises mentalmente, podemos indic-las assim: 
<R+>
<F->

 60 _ 2
 30 _ 2
 15 _ 3
  5 _ 5
  1 _
<F+>
<R->
<p>
  A decomposio do nmero 60 em fatores primos : 
 60=2.2.3.5
  Podemos usar potncias: 
 60=22.3.5 
<125>

Fatorao de um nmero 

  Todo nmero composto no nulo admite uma nica decomposio em fatores primos, sem levar em conta a ordem dos fatores. 
  Essa decomposio  tambm chamada fatorao do nmero. 

  Fatorar um nmero significa decomp-lo num produto de fatores primos. 

  Acompanhe, por exemplo, a decomposio do nmero 40 em fatores primos:
<F->

 40 _ 2
 20 _ 2
 10 _ 2
  5 _ 5
  1 _ 
<F+>
<p>
  Temos: 
 40=2.2.2.5 
  Usando potncias: 
 40=23.5 

Exerccios

<R+>
<F->
54. Fatore cada nmero a seguir: 48, 92, 98, 120, 168, 180, 225, 250, 308. 
55. Qual  o menor fator primo de cada nmero? 
65 -- 221 -- 323 -- 29 
56. No caderno, copie os cartes a seguir e ligue cada nmero dos cartes laranjas  sua fatorao correspondente, nos cartes verdes: 
Cartes laranjas: 140 -- 500 -- 5.445 -- 650 -- 3.900   
Cartes verdes:
  32.5.112
  2.52.13
  22.5.7
  22.53
<p>
  210.3
  22.3.52.13
  A fatorao que sobra  de que nmero? 

57. O produto de dois nmeros naturais  80. 
a) Que nmeros podem ser esses?  
b) Considerando que a soma deles  21, quais so os nmeros? 
c) Considerando que a soma deles  a menor possvel, quais so os nmeros? 

58. Decompondo um nmero em fatores primos, encontramos 210. Esse nmero  divisvel 
  por todos os nmeros a seguir, exceto um. Qual? 
80 -- 32 -- 16 -- 64 -- 128
<F+>
<R->
<126>
<P>
Matemtica em notcia  

Observe este infogrfico: 

Desacelera infeco por 
  dengue no Pas 

Depois da Epidemia

  Registros de casos de dengue no Brasil nas cinco primeiras semanas de 2008 e comparao com o mesmo perodo de 2007.

Regio Norte -- 8.231 casos
(Aumento de 54,57%)
  Par: 2.971
  Tocantins: 2.605
  Rondnia: 1.256
  Amazonas: 694
  Roraima: 254
  Acre: 231
  Amap: 220
<p>
 Regio Nordeste -- 6.326 casos
 (Queda de 26,55%)
  Rio Grande do Norte: 1.669
  Cear: 1.932
  Bahia: 651
  Pernambuco: 662
  Alagoas: 431
  Sergipe: 288
  Paraba: 285
  Piau: 181
  Maranho: 230 
 Regio Centro-oeste -- 4.785 
  casos
 (Queda de 81,12%)
  Mato Grosso do Sul: 765
  Gois: 2.171
  Distrito Federal: 201
  Mato Grosso: 1.648
 Regio Sudeste -- 11.291 casos
 (Queda de 5,46%)
  Rio de Janeiro: 8.486
  (Aumento de 117,42%)
  Minas Gerais: 1.762
  Esprito Santo: 789
  So Paulo: 254
  (Queda de 94,59%)
<p>
 Regio Sul -- 1.486 casos
 (Queda de 25,51%)
  Paran: 1.350
  Rio Grande do Sul: 23
  Santa Catarina: 113
 Brasil -- 32.122 casos
 (Queda de 39,65%)

Fonte: *O Estado de S. Paulo, 
  23/2/2008*. 

<R+>
<F->
  Com base nos dados referentes a 2008, responda: 
a) Em que regio ocorreram mais casos de dengue no perodo pesquisado?
b) Em que estado ocorreram mais casos? 
c) Havia dois estados com a mesma quantidade de casos?  
d) Mais da metade dos brasileiros moram nas regies Sul e Sudeste. Juntando os casos de dengue ocorridos nessas duas regies, o total corresponde a 
  mais da metade dos casos do pas? 
e) Usando os nmeros dados para cada estado, d um exemplo de: 
 nmero primo; 
 mltiplo de 3; 
 mltiplo de 4; 
 mltiplo de 9. 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<127>
<p>
Captulo 11- Divisores de um 
  nmero; mximo divisor comum

As caixas de ovos 

  Seu Takei vende ovos em sua barraca na feira. Ele recebeu da granja 180 ovos para revender e precisa embal-los. Porm, seu Takei s dispe de embalagens para oito ou para uma dzia de ovos. 
  Qual  a embalagem mais adequada para que todas fiquem iguais e completas? 
  Para responder  pergunta, precisamos saber se 180  divisvel por 8 ou por 12. 
 1808=22 resto 4
 18012=15 resto 0
  Como 180 no  divisvel por 8, as embalagens para 8 ovos no so as indicadas, pois uma delas ficaria incompleta. 
<p>
  O nmero 180  divisvel por 12, por isso  melhor que seu Takei use embalagens para 12 ovos. Sero exatamente 15 embalagens. 

Divisores 

  O nmero 12, que divide exatamente 180,  um divisor de 180. 
  H outros divisores de 180. Veja: 
 1809=20 resto 0.
  9  divisor de 180, porque 180  divisvel por 9.
 1806=30 resto 0.
  6  divisor de 180, porque 180  divisvel por 6.
  J o nmero 8 no  divisor de 180, porque 180 no  divisvel por 8. 
<128>

  Um nmero natural  divisor de outro quando o segundo  divisvel pelo primeiro. 
<p>
  Divisores de um nmero so tambm chamados fatores desse nmero. 
<R+>
<F->
18012=15 porque 15.12=180
180  divisvel por 12 e 12  divisor de 180
15 e 12 so fatores (ou divisores) de 180

Exerccios

59. Pense e responda: 
a) 9  divisor de 36? Por qu? 
b) 11  divisor de 36? Por qu? 

60. Divida 245 por 25 e por 35. Depois, responda: 
a) 25  divisor de 245? 
b) 35  divisor de 245? 

61. Use uma calculadora e responda: 
a) 16  divisor de 322.240? 
b) 19  divisor de 422.700? 
c) 59  divisor de 2.360? 
d) 45  divisor de 14.350? 
<p>
62. Nas frases a seguir, alguns divisores foram colocados no lugar errado. Troque os divisores de lugar, de modo que todas as afirmaes fiquem corretas. 
a) 2  divisor de 275. 
b) 5  divisor de 28. 
c) 6  divisor de 150. 
d) 10  divisor de 108. 

63. Agora os dividendos foram colocados no lugar errado. Troque-os de lugar, de modo que todas as afirmaes fiquem corretas. 
a) 3  divisor de 680. 
b) 10  divisor de 205. 
c) 2  divisor de 3. 
d) 5  divisor de 116.
<p>
64. So dadas as cartelas A, B e C: 
<F+>
<R->

Cartela A
 
 !:::::::::::::::
 l 1  _ 2  _ 3  _
 r:::::w:::::w:::::w
 l 4  _ 6  _ 7  _
 r:::::w:::::w:::::w
 l 10 _ 11 _ 12 _
 h:::::j:::::j:::::j

Cartela B

 !:::::::::::::::
 l 1  _ 2  _ 3  _
 r:::::w:::::w:::::w
 l 4  _ 5  _ 7  _
 r:::::w:::::w:::::w
 l 8  _ 9  _ 12 _
 h:::::j:::::j:::::j
<p>
Cartela C

 !:::::::::::::
 l 1 _ 2 _ 3  _
 r::::w::::w:::::w
 l 5 _ 6 _ 7  _
 r::::w::::w:::::w
 l 8 _ 9 _ 10 _
 h::::j::::j:::::j

<R+>
<F->
  Em qual delas voc encontra: 
a) os divisores de 10? Quais so eles? 
b) os divisores de 12? Quais so eles? 
c) os divisores de 8? Quais so eles? 

65. O cartaz est certo ou errado? 

_`[{cartaz com os seguintes dizeres: "O nmero 1  divisor de qualquer nmero natural"_`]
<F+>
<R->
<129> 
<p>
Descobrindo os divisores 
  de um nmero 

  Quais so os divisores de 18?
  Existe um mtodo prtico para obter todos os divisores de um nmero. Veja como vamos achar os divisores de 18: 
 1) Fatoramos o nmero 18. 
<F->

18 _ 2
 9 _ 3
 3 _ 3
 1 _
<F+>

<R+>
2) Colocamos um trao vertical ao lado dos fatores primos. 
<R->

<F->
18 _ 2 _
 9 _ 3 _
 3 _ 3 _
 1 _
<F+>

<R+>
3) Ao lado desse novo trao e uma linha acima, colocamos o sinal de multiplicao e o nmero 1. Na linha seguinte (a linha 
<p>
  do fator 2), colocamos o produto de 2 pelo nmero que est na linha acima dele (21=2). 
<R->

<F->
           1
18 _ 2 _ 2
 9 _ 3 _ 
 3 _ 3 _
 1 _
<F+>

<R+>
4) Na linha seguinte (a linha do fator 3), colocamos o produto de 3 pelos nmeros que esto nas linhas acima dele,  direita do trao (31=3 e 32=6). 
<R->

<F->
           1
18 _ 2 _ 2
 9 _ 3 _ 3 -- 6
 3 _ 3 _
 1 _
<F+>

<R+>
5) Repetimos esse procedimento nas outras linhas, anotando cada resultado uma s vez. Como o produto de 31 e 32 j foi 
<p>
  anotado, registramos: 33=9 e 36=18
<R->

<F->
           1
18 _ 2 _ 2
 9 _ 3 _ 3 -- 6
 3 _ 3 _ 9 -- 18
 1 _
<F+>

  Os nmeros colocados  direita da segunda linha vertical so os divisores do nmero 18: 1, 2, 3, 6, 9 e 18 
<130>

Descobrindo a quantidade de 
  divisores 

  Quantos so os divisores de 18? 
  Contando-os, verificamos que so 6 divisores. 
  Existe uma maneira para determinar a quantidade de divisores naturais de um nmero. 
  Veja como : 
<R+>
 1) Fatoramos o nmero. 
<p>
 2) Tomamos os expoentes de cada fator primo e somamos 1 a cada um deles. Multiplicamos os resultados. 
<R->
  O produto  a quantidade de divisores do nmero. 
  Vamos conferir? 
  Fatorando, temos: 18=2132 
  Os expoentes so 1 e 2. Somando 1 a cada um deles, obtemos 2 e 3. Multiplicando os resultados, encontramos 6. 
  Logo, 18 tem 6 divisores. 

Exerccios

66. Descubra todos os divisores 
  de: 
 a) 72
<F->
          '''
72 _ 2 _ '''
36 _ 2 _ '''
18 _ 2 _ '''
 9 _ 3 _ ''' ''' ''' '''
 3 _ 3 _ ''' ''' ''' '''
 1 _
<F+>
 
b) 110
<F->
            '''
110 _  2 _ '''
 55 _  5 _ ''' '''
 11 _ 11 _ ''' ''' ''' '''
  1 _      

<R+>
67. Considere o nmero 660. 
a) Determine os divisores naturais desse nmero. 
b) Quantos divisores naturais de 660 so nmeros primos? 

68. Fatore o nmero 144. 
a) Quantos divisores tem esse nmero? 
b) Qual  o menor divisor de 144? 
c) E o maior? 
<130>

69. So dados os nmeros: 600, 700, 800 e 900.
a) Qual(is) deles tem(tm) mais divisores? Quantos? 
b) Qual(is) deles tem(tm) menos divisores? Quantos? 
<F+>
<R->

  Os divisores de 6, excluindo ele mesmo, so 1, 2 e 3. Somando-os, obtemos 6: 1+2+3=6. Por isso, 6  chamado nmero perfeito. 
  Um nmero perfeito  igual  soma dos seus divisores, excluindo ele mesmo. 

<R+>
<F->
70. Verifique e responda: 
a) 10  um nmero perfeito? 
b) 28  um nmero perfeito?  

71. Calcule a soma dos divisores de 100 que so menores que 100. 
  O nmero 100  perfeito? 
72. Ache os divisores de cada nmero indicado a seguir: 140 e 150. 
  Quais so os divisores de 140 que tambm so divisores de 150? 
<F+>
<R->
<p>
Mximo divisor comum (mdc) 

  Os nmeros 1, 2, 5 e 10 so os divisores de 140 que tambm so divisores de 150 (veja exerccio 72). Eles so os divisores comuns de 140 e 150. 
  O nmero 10  o maior divisor comum de 140 e 150. Ele  chamado mximo divisor comum de 140 e 150. Indicamos, simbolicamente, assim: mdc(140, 150)=10 

  O mximo divisor comum de dois ou mais nmeros naturais  o maior nmero que  divisor de todos esses nmeros. 

Exerccios

<R+>
<F->
73. O nmero 2  divisor de 24 e tambm  divisor de 30. Por isso, dizemos que 2  divisor comum de 24 e 30. H outros divisores comuns de 24 e 30. 
a) Escreva todos os divisores de 24. 
b) Escreva todos os divisores de 30. 
c) Quais so os divisores comuns de 24 e 30? 
d) Qual  o maior divisor comum de 24 e 30? 
<132>

74. Escreva os divisores de 45 e de 60. Depois, responda: 
a) Quais so os divisores comuns? 
b) Qual  o mximo divisor comum? 

75. Dona Estela vai cortar duas peas de tecido em pedaos de tamanho igual. Esse tamanho deve ser o maior possvel. Uma das peas tem 90 metros, a outra tem 78 metros. De que tamanho dona Estela deve cortar cada pedao? Com quantos pedaos ela vai ficar? 
76. Um marceneiro recebeu 40 toras, com 8 metros de comprimento cada uma, e 60 toras, com 
<P>
  6 metros de comprimento cada uma. Ele deve cortar todas as toras em pedaos de mesmo tamanho e o maior possvel. Qual ser o tamanho de cada pedao? Quantos pedaos sero obtidos? 
77. A livraria em que seu Arnaldo trabalha precisa atender a dois pedidos: um de 126 livros e o outro de 270 livros. Os livros desses dois pedidos vo ser empacotados. Todos os pacotes devem ter o mesmo nmero de livros e a quantidade de pacotes deve ser a menor possvel. Determine quantos livros seu Arnaldo deve colocar em cada pacote e quantos pacotes ele deve fazer. 
78. Para achar o mdc(20, 28), considere s os divisores de 20 e descubra o maior deles que tambm  divisor de 28. Qual  o mdc(20, 28)? 
<P>
79. Determine: 
a) mdc(18, 25) 
b) mdc(14, 21) 
c) mdc(14, 16, 18) 
d) mdc(16, 21, 25)  
<F+>
<R->

  Quando dois ou mais nmeros apresentam o mximo divisor comum igual a 1, eles so chamados primos entre si. 

<R+>
<F->
80. Observe os resultados do exerccio anterior e reescreva as frases a seguir, usando uma das expresses entre parnteses: 
 Os nmeros 18 e 25 (so/no so) primos entre si. 
 Os nmeros 14 e 21 (so/no so) primos entre si. 
 Os nmeros 14, 16 e 18 (so/no so) primos entre si.
 Os nmeros 16, 21 e 25 (so/no so) primos entre si.
<F+>
<R->
<133>
<p>
Desafios

Planejando o feriado 

  Em 2009, o feriado de 7 de setembro caiu em uma segunda-feira. Em que dia da semana cair o 
aniversrio da Independncia do Brasil no ano 2040? 

<R+>
_`[{foto: grupo de soldados marchando_`]
 Legenda: Desfile militar em Braslia (DF). 
<R->

Formando equipes 

  A professora de Cincias decidiu pedir a uma classe de 20 alunos que realizasse uma pesquisa sobre poluio ambiental. Para isso, a classe foi dividida em 4 equipes, cada uma com pelo menos 3 alunos. 
<R+>
<F->
a) Quantos alunos h na classe? 
b) Quantas equipes foram formadas? 
c) Qual foi o nmero mnimo de alunos por equipe? 
d) Pode ter sido formada uma equipe com 14 alunos? E com 12 alunos?  
e) Qual era o nmero mximo de alunos que uma equipe poderia ter? 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
       
<134>
<p>
Captulo 12- Mltiplos de um 
  nmero; mnimo mltiplo comum

A tabela de preos 

  Na papelaria do seu Manuel, cada lpis de cor custa 2 reais. Para facilitar as vendas, seu Manuel montou uma tabela como esta a seguir: 

<R+>
<F->
_`[{tabela em duas colunas: 
  1) quantidade de lpis de cor; 
  2) Preo (em reais)_`]
<F+>
<R->
<p>
 !::::::::::
 l 1 _ 2 _
 r:::::w:::::w
 l 1  _ 2  _
 r:::::w:::::w
 l 2  _ 4  _
 r:::::w:::::w
 l 3  _ 6  _
 r:::::w:::::w
 l 4  _ 8  _
 r:::::w:::::w
 l 5  _ 10 _
 r:::::w:::::w
 l 6  _ 12 _
 r:::::w:::::w
 l 7  _ 14 _
 r:::::w:::::w
 l 8  _ 16 _
 r:::::w:::::w
 l 9  _ 18 _
 r:::::w:::::w
 l 10 _ 20 _
 r:::::w:::::w
 l 11 _ 22 _
 r:::::w:::::w
 l 12 _ 24 _
 h:::::j:::::j
 
  De acordo com a tabela, 6 lpis custam R$12,00. O preo de 11 lpis  R$22,00. 
  Quanto custaro 16 lpis de cor? 
 162=32 
  Dezesseis lpis custaro 32 reais. 

Os nmeros pares 

  Tomando os nmeros naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... e multiplicando cada um por 2, obtemos 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ..., que so os nmeros pares. 
  Dizemos que os nmeros pares so os mltiplos de 2, porque so obtidos multiplicando-se os nmeros naturais por 2. 
  Na tabela da papelaria, do nosso exemplo inicial, o preo da quantidade de lpis  mltiplo de 2. 
<p>
Os mltiplos de um nmero 

  Multiplicando os nmeros naturais por 3, obtemos os mltiplos de 3, que so: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ... 
  Os mltiplos de 5 so: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ... 

  Mltiplos de um nmero natural so os nmeros obtidos quando esse nmero  multiplicado pelos nmeros naturais. 

  Multiplicando-se os nmeros naturais por zero, o resultado  sempre zero. Assim, o nico mltiplo de zero  zero. 
<135>

Como saber se  mltiplo? 

  Os mltiplos de 6 so: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ... 
  Ser que 228  mltiplo de 6? 
<p>
  Precisamos descobrir se 228  produto de 6 por algum nmero na-
tural. Para isso, dividimos 228 por 6: 
 2286=38 resto 0 
 228=638 
  Logo, 228  mltiplo de 6 (e tambm de 38). 
  Note que 228  divisvel por 6, pois o resto  zero. 

  Um nmero natural  mltiplo de outro, no nulo, quando o primeiro  divisvel pelo segundo. 

Exerccios

  Para obter os mltiplos do nmero 4, basta multiplicar por 4 cada um dos nmeros naturais: 
<F->
0.4=0 
1.4=4 
2.4=8 
3.4=12 
4.4=16 
<F+>
  E assim por diante. 
<p>
<R+>
<F->
81. De acordo com a explicao anterior, responda: 
a) Considerando que h infinitos nmeros naturais, quantos so os mltiplos de 4? 
b) Quais so os mltiplos de 4 menores que 30? 

82. Escreva os mltiplos de 6 menores que 50.  
83. Quais so os mltiplos de 7 maiores que 30 e menores que 60? 

84. Observe os nmeros do quadro a seguir: 
<F+>
<R->

<F->
!::::::::::::::::::::
l 3  _ 11 _ 42 _ 44 _
r:::::w:::::w:::::w:::::w
l 22 _ 2  _ 0  _ 81 _
r:::::w:::::w:::::w:::::w
l 40 _ 55 _ 7  _ 88 _
r:::::w:::::w:::::w:::::w
l 34 _ 99 _ 13 _ 66 _
h:::::j:::::j:::::j:::::j
<F+>
<P>
<R+>
<F->
a) Quais desses nmeros so mltiplos de 11?  
b) Para indicar todos os mltiplos de 11 menores que 100, que nmeros voc deve acrescentar aos da tabela anterior?  

85. Fazendo uma diviso, responda:
a) 3.220  mltiplo de 7?
b) 11.433  mltiplo de 7? 
  Se for necessrio, use uma calculadora. 
<136>

86. Nas afirmaes a seguir, os mltiplos foram trocados de lugar. Reescreva cada afirmao em seu caderno, escrevendo os mltiplos nos lugares certos, de modo que todas fiquem corretas: 
a) 333  mltiplo de 5. 
b) 335  mltiplo de 11.
c) 348  mltiplo de 10.
d) 340  mltiplo de 3. 
e) 341  mltiplo de 6. 
<p>
87. Descubra qual  o menor nmero natural: 
a) mltiplo de 12 com trs algarismos; 
b) mltiplo de 18 com trs algarismos; 
c) mltiplo de 12 e de 18 e diferente de zero. 
<F+>
<R->

As coincidncias 

  Raul costuma cortar o cabelo de 20 em 20 dias, e Artur, de 25 em 25 dias. Certo dia coincidiu de ambos cortarem o cabelo. Da a quantos dias a coincidncia ocorrer novamente? 
  Contando a partir da primeira coincidncia, Raul voltar a cortar o cabelo aps 20 dias, aps 40 dias, 60 dias, etc. 
  20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, ... so os mltiplos de 20, fora o zero. 
  J Artur voltar a cortar o cabelo aps 25 dias, 50 dias, 75 dias, etc. 
<p>
  25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225, ... so os mltiplos de 25, fora o zero. 
  Haver novas coincidncias aps 100 dias, 200 dias, 300 dias, etc. 
  100, 200, 300, ... so os mltiplos comuns de 20 e 25, fora o zero. A segunda coincidncia ocorrer exatamente aps 100 dias. 

Mnimo mltiplo comum (mmc) 

  No exemplo anterior, 100  o primeiro nmero, excluindo o zero, que  mltiplo ao mesmo tempo de 20 e de 25. Ele  chamado mnimo mltiplo comum de 20 e 25. 
  Indicamos: mmc(20, 25)=100. 

  O mnimo mltiplo comum de dois ou mais nmeros naturais  o menor nmero, excluindo o zero, que  mltiplo desses nmeros. 
<137>
<p>
Exerccios 

<R+>
<F->
88. Se Raul joga basquete nos dias pares e pratica natao em todos os dias mltiplos de 3, em quantos dias do ms de maio ele pratica os dois esportes? 

89. Desenhe em seu caderno uma escala numrica como esta: 

_`[{reta numrica marcando os nmeros de 1 a 25_`]

a) Escreva os mltiplos de 4 e os de 6.
b) Qual o menor nmero mltiplo de 4 e o menor nmero mltiplo de 6.
c) Como se chama o nmero encontrado no item b) em relao ao 4 e ao 6? 

90. Copie em seu caderno os nmeros a seguir: 
1 -- 2 -- 3 -- 4 -- 5 -- 6 -- 7 -- 8 -- 9 -- 10 
<p>
11 -- 12 -- 13 -- 14 -- 15 -- 16 -- 17 -- 18 -- 19 -- 20 
21 -- 22 -- 23 -- 24 -- 25 -- 26 -- 27 -- 28 -- 29 -- 30 
31 -- 32 -- 33 -- 34 -- 35 -- 36 -- 37 -- 38 -- 39 -- 40 
41 -- 42 -- 43 -- 44 -- 45 -- 46 -- 47 -- 48 -- 49 -- 50 
 
a) Escreva os mltiplos de 6.
b) Escreva os mltiplos de 8.
c) Indique os mltiplos comuns de 6 e 8. 
d) Indique o mnimo mltiplo comum de 6 e 8. 

91. Num ponto de nibus, passa um nibus da linha A, de 15 em 15 minutos, e um da linha B, de 20 em 20 minutos. s 9 horas passaram os dois nibus nesse ponto. A que horas voltaro a passar juntos? 
92. Voc quer achar o mmc(15, 25). Considere s os mltiplos de 25, fora o zero, e veja qual 
<p>
   o menor deles que tambm  mltiplo de 15. Qual  o mmc(15, 25)? 

93. Determine o mmc dos nmeros em cada bola: 
  bola azul: 18 e 12
  bola amarela: 40 e 30
  bola rosa: 60 e 20
  bola verde: 50 e 200

94. Siga as afirmaes que forem verdadeiras para descobrir aonde a classe de Alexandre foi em excurso: 
mmc(1, 4)=4
mmc(2, 4)=2  :> zoolgico
mmc(2, 4)=4
mmc(3, 4)=12 :> parque de diverses
mmc(3, 4)=4  :> teatro
mmc(1, 4)=1  :> cinema
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
              
<138>
<p>
Captulo 13- Clculo do mdc e 
  do mmc
 
Os pacotes de bombons 

  Dona Claudete participa de um bazar beneficente com o fim de arrecadar fundos para uma creche. Ela fez, para vender no bazar, 840 bombons de leite e 900 bombons de fruta. Agora ela precisa empacot-los. 
  Quatro condies devem ser seguidas no empacotamento. Veja: 
<R+>
 Cada pacote deve ter apenas bombons de um mesmo sabor. 
 Todos os pacotes devem ter o mesmo nmero de bombons. 
 Os pacotes devem conter o maior nmero possvel de bombons. 
 No deve sobrar nenhum bombom fora dos pacotes. 
<R->
  Quantos bombons dona Claudete deve colocar em cada pacote? 
<P>
  Devemos repartir 840 bombons de leite e 900 bombons de fruta em pacotes com a mesma quantidade, com um nico sabor e sem que sobrem bombons. 
  A quantidade de bombons em cada pacote , portanto, um divisor comum de 840 e 900. 
  Como os pacotes devem conter o maior nmero possvel de bombons, precisamos calcular o mximo divisor comum de 840 e 900, ou seja, mdc(840, 900). 
  Voc encontrar a resposta resolvendo o exerccio 95. 

Calculando o mdc de dois ou mais 
  nmeros 

  Para calcular o mdc de dois ou mais nmeros podemos usar a regra da decomposio simultnea. Acompanhe o clculo do mdc de 60, 40 e 24: 
<R+>
1) Escrevemos os nmeros dados, separando-os por vrgulas, 
  e colocamos um trao ao lado do ltimo nmero.  direita do trao, colocamos o menor fator
  primo comum dos nmeros dados. Se no houver fator primo comum, os nmeros so primos entre si e o mdc  igual a 1. 
<R->

60, 40, 24 _ 2
<139>

  Qual  o mdc de 60, 40 e 24? 

<R+>
2) Sob cada nmero colocamos o quociente da diviso pelo fator primo comum.  direita do trao, colocamos o menor fator primo comum dos quocientes encontrados. 
<R->  

 60, 40, 24 _ 2
 30, 20, 12 _ 2

<R+>
3) Dividimos cada quociente pelo fator primo comum e indicamos, sob cada nmero, o resultado encontrado. Prosseguimos 
<p>
  assim at encontrar quocientes que no tenham fator primo comum, isto , que sejam primos entre si. 
<R->

 60, 40, 24 _ 2
 30, 20, 12 _ 2
 15, 10,  6 _

<R+>
4) O mdc  o produto dos fatores primos comuns colocados  direita do trao. 
<R->

 mdc(60, 40, 24)=22 
 mdc(60, 40, 24)=4 

<R+>
Exerccios 

95. Releia o problema proposto no incio deste captulo Os pacotes de bombons. Calcule o mdc de 840 e de 900 para saber quantos bombons dona Claudete deve colocar em cada pacote. 
<p>
96. Descubra as estaes em que o trem vai parar, calculando o mdc dos nmeros pintados em cada 
  vago. Cada mdc  o nmero de uma estao em que vai haver parada. 

_`[{trem composto por oito vages; em cada um deles esto escritos os nmeros a seguir_`]

 1) 50, 75, 120
 2) 180, 96, 72
 3) 28, 40
 4) [no h nmeros]
 5) 84, 120
 6) 20, 28
 7) 125, 108
 8) 18, 36, 63

 Estaes:
 1 Serra das Onas
 2 Poo das Cobras
 3 Caxinguel         
 4 Pico dos Gavies 
<p>
 5 Perer           
 6 Eldorado         
 7 Muriri           
 8 Vale do Perigo   
 9 Cidade Feliz     
 10 Encruzilhada  
 11 Porto dos Sonhos 
 12 Praia do Sol

 a) Quantas sero as paradas? 
 b) Em quais estaes sero as paradas? 
<140>

<F->
97. Tenho 84 balas de coco, 144 balas de chocolate e 60 balas de leite. Quero formar saquinhos de balas, sem misturar sabores e sem que sobrem balas. Todos os saquinhos devem ter a mesma quantidade de balas, que deve ser a maior possvel. 
a) Quantas balas devo colocar em cada saquinho? 
b) Quantos saquinhos devo formar? 
<P>
98 Determine: 
a) mdc(81, 80) 
b) mdc(21, 30, 48) 
c) mdc(100, 117) 
d) mdc(112, 176, 96) 
  Em que itens os nmeros so primos entre si? 

99. No Colgio 1 de Maio matricularam-se: 
 280 alunos de 6 ano; 
 224 alunos de 7 ano;
 168 alunos de 8 ano; 
 112 alunos de 9 ano. 
  O diretor gostaria que todas as classes do colgio tivessem o mesmo nmero de alunos. O nmero considerado ideal por ele  no menos de 20 e no mais de 40 alunos. Para satisfazer a vontade do diretor: 
a) quantos alunos devem ficar em cada classe? 
b) quantas classes de cada ano sero formadas? 
<F+>
<R->
<p>
Desafio 

As flores do casamento 

  Para o casamento de Samantha, dona Ftima encomendou 600 rosas, 300 margaridas, 225 cravos e 100 antrios. 
  Ela quer fazer arranjos de flores para enfeitar o salo de festas, sem deixar sobrar nenhuma flor. Todos os arranjos devem ser iguais e, para isso, devem ter o mesmo nmero de rosas, de margaridas, de cravos e tambm de antrios. Desejando montar o maior nmero possvel de arranjos, quantas flores dona Ftima deve colocar em cada um? 
<141>

O alinhamento dos planetas 

_`[{ilustrao: Sistema Solar_`]

  No ano de 2006 ocorreu um raro fenmeno: o alinhamento dos planetas Mercrio, Vnus e Saturno. 
<p>
  Assim como a Terra, esses planetas tambm giram em torno do Sol. Mercrio leva aproximadamente 87 dias para completar uma volta em torno do Sol; Vnus le-
va aproximadamente 225 dias; e Saturno, 28 anos. 
<R+>
 a) Considerando o momento em que os trs planetas se alinham, depois de quantos dias Mercrio e Vnus estaro ambos novamente nessa mesma posio? 
 b) Depois de quantos anos, aproximadamente, essa posio dos trs planetas se repetir? 
<R->

  Se Mercrio volta  posio inicial a cada 87 dias e Vnus a cada 225 dias, ambos estaro nessa posio quando decorrer um nmero de dias mltiplo comum de 87 e 225. A prxima vez ocorrer no mnimo mltiplo comum de 87 e 225. Ento, precisamos calcular o mmc(87, 225). Voc encontrar as respostas resolvendo o exerccio 100. 
<p>
Calculando o mmc de dois 
  ou mais nmeros 

  Qual  o mmc de 18, 25 e 30? 

  Para calcular o mmc de dois ou mais nmeros podemos usar a regra da decomposio simultnea. Acompanhe a explicao no exemplo: 
<R+>
1) Escrevemos os nmeros dados, separando-os por vrgulas, e colocamos um trao ao lado do ltimo nmero.  direita do trao, colocamos o menor dos fatores primos dos nmeros dados, seja ele um fator comum ou no (no exemplo, o 2). 
<R->
<F->

 18, 25, 30 _ 2 
<F+>
<142>

<R+>
2) Sob cada nmero que for divisvel pelo fator primo, colocamos o quociente da diviso (no exemplo, sob 18 colocamos o 9 e, sob o 30, o 15). Os 
<p>
  nmeros no divisveis pelo fator primo devem ser repetidos (no exemplo, o 25). 
<R->
<F->

 18, 25, 30 _ 2
  9, 25, 15 _ 
<F+>

<R+>
3) Prosseguimos com esse processo at chegar ao quociente 1 sob todos os nmeros. O mmc  o produto dos fatores primos colocados  direita do trao: 
<R->
<F->

 18, 25, 30 _ 2
  9, 25, 15 _ 3
  3, 25, 5  _ 3
  1, 25, 5  _ 5
  1, 5,  1  _ 5
  1, 1,  1  _
<F+>

  Assim: mmc(18, 25, 30)=2.32.52=
 =2.9.25=450 
<p>
Exerccios 

<R+>
<F->
100. Releia o problema proposto sobre o alinhamento dos planetas. 
a) Calcule o mmc(87, 225) e responda  primeira pergunta. 
b) Transforme em nmero de anos a resposta do item anterior.  
c) Calcule o mmc entre 28 e o nmero dado como resposta no item b) para responder  segunda pergunta. 

101. Um carro e uma moto partem juntos do ponto inicial do circuito de um autdromo. O carro percorre o circuito em 210 segundos, e a moto, em 280 segundos. Depois de quanto tempo o carro e a moto passaro juntos novamente pelo ponto inicial?  

102 Calcule: 
a) mmc(12, 15, 18) 
b) mmc(24, 32, 40) 
<p>
103. Esta  a foto que Adriana tirou de seus amigos no parque. 
<F+>

_`[{foto de um grupo de nove jovens vestindo camisetas com nmeros pintados_`]

  O mmc dos nmeros pintados na camiseta dos amigos de Adriana coincide com a quantia em reais que cada um levou no passeio. Se Adriana levou R$100,00, no total, quem levou mais: Os meninos ou as meninas? Quanto a mais? 
<F->

o nmeros nas camisetas das meninas:
6,8 e 10
30 e 45
8, 12 e 16
10, 12 e 5
o nmeros nas camisetas dos meninos:
150 e 50
20 e 25
<p>
12 e 16
40 e 30
10 e 15
<F+>
<143>

104. Descubra a classificao das equipes na gincana da escola, calculando o mmc dos nmeros escritos nas placas de cada lder de equipe. O maior mmc corresponde  equipe com mais pontos; o menor mmc,  equipe com menos pontos. Qual foi a equipe vencedora? 

_`[{quatro meninos segurando, cada um, uma placa na cor correspondente  sua equipe, contendo os nmeros a seguir_`]

 vermelho: 8, 12 e 1
 azul: 30, 60 e 40
 branco: 4, 8, 10 e 12
 verde: 2, 3, 4, 5 e 6
<R->
<p>
Desafio 

Maratona ciclstica 

  Dois ciclistas largam juntos numa pista, percorrendo-a com velocidade constante. Waltinho completa cada volta em 18 minutos. Raul leva 22 minutos em cada volta. 
<R+>
<F->
a) Depois de quanto tempo os dois cruzaro juntos pela primeira vez o ponto de largada? 
b) Nesse momento, quantas voltas ter dado cada um? 
c) Em que momento Waltinho ultrapassar Raul pela primeira vez? (Lembre-se: Nesse momento, Waltinho estar exatamente uma volta  frente de Raul.) 
<F+>
<R->

Calculando o mdc e o mmc 

  Qual  o mdc e o mmc de 180, 240 e 252? 
<144>
  Vamos resolver de duas maneiras: 
<p>
Pela regra da decomposio 
  simultnea 

<R+>
1) Comeamos dividindo os nmeros dados pelos fatores primos comuns, para determinar o mdc. A seguir, calculamos o mdc e prosseguimos com as divises pelos fatores primos no comuns (recomeamos dividindo por 2, por 3, por 5, etc.). Repeti-
  mos os nmeros no divisveis, como no clculo do mmc. 
<R->
<F->

180, 240, 252 _ 2 
 90, 120, 126 _ 2 
 45,  60,  63 _ 3 
 15,  20,  21 _ 2 
 15,  10,  21 _ 2   
 15,   5,  21 _ 3 
  5,   5,   7 _ 5 
  1,   1,   7 _ 7 
  1,   1,   1 _
<F+>

  fatores comuns: 2, 2 e 3
  fatores no comuns: 2, 2, 3,
  5 e 7

<R+>
2) O mdc  o produto dos fatores primos comuns: 
<R->
 mdc(180, 240, 252)=
  =2.2.3=12 

<R+>
3) O mmc  o produto de todos os fatores primos. Ento, multiplicamos o mdc pelos fatores no comuns: 
<R->
 mmc(180, 240, 252)=12.2.
  .2.3.5.7=5.040 

Pela regra da fatorao 

  Para calcular o mdc e o mmc de dois ou mais nmeros, podemos empregar a chamada regra da fatorao. 
  Vamos explicar: 
<P>
<R+>
1) Fatoramos, separadamente, os nmeros dados. 
<R->

<F->
 180 _ 2
  90 _ 2
  45 _ 3
  15 _ 3
   5 _ 5
   1 _
<F+>

 180=22.32.5

<F->
 240 _ 2
 120 _ 2
  60 _ 2
  30 _ 2
  15 _ 3
   5 _ 5
   1 _
<F+>

 240=24.3.5
<P>
<F->
 252 _ 2
 126 _ 2
  63 _ 3
  21 _ 3
   7 _ 7
   1 _
<F+>

 252=22.32.7

<R+>
2) O mdc  o produto dos fatores primos comuns, cada um com o menor expoente que apresenta na fatorao. 
<R->
 mdc(180, 240, 252)=22.3=
  =4.3=12 

<R+>
3) O mmc  o produto dos fatores comuns e no comuns, cada um com o maior expoente que apresenta na fatorao. 
<R->
 mmc(180, 240, 252)=24.
  .32.5.7=16.9.5.7=5.040 
  Lembre-se: Se os nmeros dados no apresentam fator primo comum, ento o mdc  1 e os nmeros so primos entre si. 
<145>

S para dois nmeros 

  Para calcular o mdc e o mmc de apenas dois nmeros, podemos encurtar a regra da decomposio simultnea: paramos quando acabam os fatores comuns. Veja: 
  Qual  o mdc e o mmc de 132 e 168? 

 132, 168 _ 2
  66, 84 _ 2
  33, 42 _ 3
  11, 14 _  
 
 mdc=2.2.3=12
 11 e 14 so primos entre si.

  O mmc  o produto do mdc pelos quocientes primos entre si que restaram:
 mmc=12.11.14=1.848
  Muita ateno: Este procedimento s se aplica quando estamos calculando o mmc de dois nmeros. No caso de trs ou mais nmeros,
<P>
devemos ir at o fim, at que os quocientes sejam todos iguais a 1. 

Exerccios 

<R+>
<F->
105. Marcos e Daniel so universitrios. O mdc dos nmeros escritos nas camisetas  a idade de cada um, e o mmc corresponde a quanto cada um ganhou trabalhando nas ltimas frias escolares. 

Camiseta de Marcos: 100 e 120
Camiseta de Daniel: 84 e 105

  Aplique a regra que preferir para calcular o mdc e o mmc e responda: 
a) Quem  o mais velho?
b) Quem ganhou mais? 
<146>
<P>
106. Em cada sacola h duas espcies de fruta. Descubra quais so, calculando o mdc e o mmc dos nmeros impressos em cada sacola. 

_`[{a seguir, duas listas: a primeira relaciona os nmeros contidos nas seis sacolas; a segunda, a relao de frutas com resultados de mmc e mdc_`]

Sacolas:
  I- 30 e 45
  II- 400 e 500
  III- 12, 14 e 16
  IV- 100 e 150
  V- 72 e 90
  VI- 30, 60 e 150
Frutas:
  melo -- mmc=360
  banana -- mdc=100
  pera -- mmc=90
  carambola -- mmc=180
  limo -- mdc=50
  abacate -- mdc=30
  pssego -- mmc=336
  caju -- mmc=2.000
  abacaxi -- mdc=18
  ma -- mdc=15
  morango -- mdc=2
  maracuj -- mmc=300

a) Que fruta se encontra em duas sacolas? 
b) Que fruta no se encontra em nenhuma sacola? 

107. Fatore cada nmero: 75, 98, 320 e 480. 
  Depois, aplicando a regra da fatorao, calcule: 
<F+>
<R->

 !::::::::::::::::::::::::::::
 l mdc          _ mmc          _
 r::::::::::::::w::::::::::::::w
 l (320, 480) _ (320, 480) _
 r::::::::::::::w::::::::::::::w
 l (98, 75)   _ (98, 75)   _
 r::::::::::::::w::::::::::::::w
 l (320, 98)  _ (320, 98)  _
 r::::::::::::::w::::::::::::::w
 l (480, 75)  _ (480, 75)  _
 h::::::::::::::j::::::::::::::j
<P>
<R+>
<F->
108. Dos anos do sculo XXI, quais so mltiplos de 5 e de 9 ao mesmo tempo? 
109. Descubra qual  o nmero. 
 Escreve-se com dois algarismos. 
 Somando 7, d um mltiplo de 15 e de 21.  

110. Pense e responda: 
a) Se um nmero  mltiplo de 4 e de 6, ento ele  mltiplo de 24?  
b) Que nmeros de dois algarismos so divisveis por 4 e por 6?  

111. Quantos nmeros de trs algarismos so divisveis por 3, 5 e 8? 

112. Vamos calcular. 
a) Qual  o mdc(400, 600)? 
b) Quantos so os divisores comuns dos nmeros 400 e 600? 
<F+>
<R->
<147>
<P>
Trabalhando em grupo 

  Em grupos de dois ou trs alunos, leiam o texto a seguir. Discutam e resolvam as questes e, depois, troquem ideias com os demais grupos. 

O sonho de Talita 

  Num certo dia, Talita acordou bem cedo. Era dia de excurso da escola. Os 96 meninos e 144 meninas alunos do 6 ano iriam conhecer a cidade de Surpresa. 
  Existem dois caminhos diferentes para chegar a Surpresa: pela serra ou pelo litoral. Os alunos foram divididos em turmas. Algumas turmas foram pela serra, e outras, pelo litoral. Mas todos os alunos tomaram os nibus no mesmo horrio, s 8 horas. 
<P>
  O nibus em que Talita viajava ia pela serra. A paisagem era maravilhosa. Do lado direito da estrada havia eucaliptos plantados a cada 20 metros e do lado esquerdo havia ips plantados de 50 em 50 metros. 
  No meio do caminho, o nibus deu uma parada no Rancho dos Sucos. Talita tomou suco de laranja. Seu amigo Marco Antonio 
preferiu o de manga. Para acompanhar o suco, Talita comeu biscoitos. Marco Antonio no quis comer nada, pois estava sem fome. 
  Conversando com o dono do Rancho, Talita, que era muito curiosa, descobriu que, para obter um litro de suco de cada fruta, ele usava 15 laranjas e 24 mangas. 
  Surpresa era uma cidade muito bonita. Na praa central, um grande painel anunciava os principais eventos da cidade. Por coincidncia, trs eventos que ocorriam com intervalos de tempo diferentes aconteceriam naquele ano. 
  Talita ainda estava lendo o painel quando, de repente... Acordou. Tudo no havia passado de um sonho. 
  Que pena! No era dia da excurso da escola! 
  Vamos recordar com Talita o sonho que ela teve? 
<R+>
<F->
a) Talita viu eucaliptos e ips plantados ao longo da estrada. Em certo lugar, um eucalipto estava plantado em frente a um ip. De quantos em quantos metros isso acontecia? 
b) Os nibus para Surpresa que fazem o percurso pela serra partem de 20 em 20 minutos e os que fazem o percurso pelo litoral partem de 90 em 90 minutos. Se s 8 horas um nibus de cada linha partiram juntos, depois de quanto tempo ocorrer nova partida simultnea dessas duas linhas? 
<P>
c) Na praa central de Surpresa, um painel anunciava a ocorrncia, naquele ano, de trs dos principais eventos da cidade. 
<148>
  Observe as informaes na ilustrao: 

_`[{numa rua, um menino l um cartaz, com os seguintes dizeres:_`]
<F+>
<R->

          Maio
          Encontro das Artes
          Realizado a cada dois anos, rene os principais artistas do pas

          Julho
          Festival de Msica
          Ocorre a cada 4 anos reunindo os msicos mais importantes do pas

          Setembro
          Gincana de Esportes
          Realizada de 5 em 5 anos

<R+>
<F->
  Aps quantos anos esses eventos voltariam a coincidir?  
<P>
d) Se os alunos da excurso fossem divididos em grupos mistos (meninos e meninas), cada um com 30 alunos, quantos grupos seriam formados? 
e) Se no fosse possvel formar grupos mistos e se todos os grupos precisassem ter o mesmo nmero de alunos, quantos alunos, no mximo, poderia haver em cada grupo? Quantos seriam os grupos formados s com meninas? E os grupos formados s com meninos?  
f) No Rancho dos Sucos, Talita ficou sabendo quantas frutas eram necessrias para obter um litro de suco de laranja e um litro de suco de manga. 
 Com 240 laranjas e 240 mangas, quantos litros de suco de cada fruta podemos obter? 
 Para engarrafar os sucos em garrafas de 1 litro, quantas garrafas sero necessrias?  
<P>
 Se quisermos embalar as garrafas em pacotes com quantidades iguais sem misturar sucos de sabores diferentes, quantas garrafas poderemos colocar, no mximo, em cada pacote? 
 Quantos sero os pacotes de suco de laranja? E os pacotes de suco de manga? 
<F+>
<R->

Desafio 

Compreendendo um texto 

  Um computador est programado para fazer uma operao diferente, representada pelo smbolo y. Essa operao y consiste em adicionar soma e produto dos dois nmeros dados. 
  Veja como : 
 4y3=4+3+43=19 
  Calculando (5y0)y1, vamos obter: 
<F->
a) 0 
b) 1 
c) 5 
<p>
d) 6 
e) 11 
<F+>
<149>

Matemtica em notcia

  Leia a notcia a seguir, extrada do suplemento infantil do jornal *Folha de S. Paulo*: 

Saturno na mira dos seres humanos 

  A Nasa (agncia espacial dos EUA) e a ESA (Agncia Espacial Europeia) vo receber imagens e informaes sobre o planeta Saturno, vizinho da Terra, a cerca de um bilho e quinhentos milhes de quilmetros de distncia daqui. Elas enviaram para l a sonda Cassini, que carrega a sonda Huygens. So equipamentos que enviam dados para a Terra. 
  A sonda Cassini inicia uma misso de quatro anos e vai coletar informaes sobre Saturno. "No  possvel acompanhar visualmente a misso daqui da Terra porque a distncia que nos separa de Saturno  grande", disse a 
professora de astronomia Regina Atulim, da Escola Municipal de Astrofsica de So Paulo. 
  Saturno  o sexto planeta a partir do Sol e o segundo maior do Sistema Solar. 

Tit  a misso da expedio 

  A misso vai colher informaes sobre a atmosfera, os anis e os satlites de Saturno. Tit, sua maior lua, foi pouco pesquisada pelas sondas Voyagers, em 80 e 81, disse Regina. No Natal deste ano, a Huygens vai se
separar da Cassini e viajar para Tit. Dever chegar l em 14 de janeiro de 2005. A Huygens vai pesquisar a composio qumica e a densidade da atmosfera, os ventos e a superfcie do satlite. O estudo pode revelar detalhes sobre a origem e a evoluo da atmosfera da Terra, pois os resultados das 
<p>
misses anteriores Voyagers mostraram que a composio qumica de
Tit  semelhante  da atmosfera primitiva da Terra. 

(*Folha de S. Paulo,
  3/7/2004.*) 

  A Terra  o terceiro planeta em distncia a partir do Sol. O cientista italiano Galileu 
 Galilei observou Saturno por telescpio, pela primeira vez, em 1610, mas no percebeu o conjunto de anis, o qual s foi descoberto quase meio sculo depois pelo astrnomo holands Christian Huygens. Posteriormente, o astrnomo italiano Giovanni 
 Domenico Cassini descobriu que os anis apresentavam uma separao que passou a ser chamada diviso de Cassini. 
<P>
  Responda: 
<R+>
<F->
a) Qual  a posio de Saturno em relao ao Sol? 
b) Quais so os nomes das sondas que estiveram em Saturno em 1980 e 1981? 
c) Qual  o nome da sonda que atingiu Saturno em julho de 2004? 
d) E qual  o nome da sonda que foi para Tit em janeiro de 2005? Quem  Tit? 
e) Sabemos que a distncia da Terra ao Sol  149,6 milhes de quilmetros, qual  a distncia mdia de Saturno em relao ao Sol? 
<150>

Teste seu conhecimento 

1. (Escola Tcnica Federal-RJ) Dividindo-se o nmero 59.093 sucessivamente por 2, 3, 5, 9 e 10 os restos 
<P>
  das divises sero, respectivamente: 
a) 0, 2, 3, 6, 3 
b) 1, 1, 2, 2, 8  
c) 1, 2, 0, 7, 3 
d) 1, 2, 3, 8, 3 

2. (U. F. So Carlos-SP) Um determinado corpo celeste  visvel da Terra a olho nu de 63 em 63 anos, tendo sido visto pela ltima vez no ano de 1968. De acordo com o calendrio atualmente em uso, o primeiro ano da Era Crist em que esse corpo celeste esteve visvel a olho nu da Terra foi no ano: 
a) 15 
b) 19 
c) 23 
d) 27 
<P>
3. Ache o maior nmero de 4 algarismos que  divisvel por 13 e o menor nmero natural de 4 algarismos que  divisvel por 17. A diferena entre os resultados  um nmero:
a) primo; 
b) mltiplo de 6; 
c) menor que 5.000; 
d) divisvel por 5. 

4. 6y41 representa um nmero de quatro algarismos. Esse nmero deve ser divisvel por 3. Quantas so as possibilidades para o algarismo desconhecido? 
a) uma 
b) duas 
c) trs 
d) quatro 

5. Qual  o menor nmero natural divisvel por 6 que se escreve usando apenas os algarismos 1 e 0? Esse nmero dividido por 4 deixa resto:
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 

6. (Escola Tcnica Federal-CE) O algarismo que se deve intercalar entre os algarismos do nmero 76 de modo que 
  o nmero obtido seja divisvel por 4 e 9 simultaneamente :
a) 1 
b) 7 
c) 5 
d) 6 

7. (U. F. Uberlndia-MG) Considere os nmeros naturais mpares 1, 3, 5, ..., 2001. Multiplicando-os, o resultado ter, na ordem das unidades, o algarismo:
a) 7 
b) 3 
c) 5 
d) 1 
<P>
8. (UF-RS) Multiplicando todos os nmeros primos menores que 1.000, o dgito que ocupa a casa das unidades do produto : 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 5 

9. O nmero de trs algarismos 41y deve ser primo. Quantas so as possibilidades para o algarismo desconhecido? 
a) nenhuma 
b) uma 
c) duas 
d) trs 

10. (FGV-SP) O nmero de divisores naturais de 105.000 : 
a) 80 
b) 64 
c) 105 
d) 210 
<P>
11. (UF-MG) Calculando o mximo divisor comum dos nmeros 756 e 2.205, a soma dos algarismos dele  igual a:
a) 3 
b) 8 
c) 9 
d) 13 
   
12. (UF-RN) Duas escolas, X e Y, decidiram organizar uma gincana estudantil na qual os alunos devem formar todas as equipes com o mesmo nmero de componentes. Foram selecionados 49 alunos da escola X e 63 alunos da escola Y. Cada aluno deve participar de apenas uma equipe. Assim, o nmero de equipes participantes das escolas X e Y ser, respectivamente: 
a) 7 e 9 
b) 6 e 9 
c) 8 e 9 
d) 7 e 8 
<P>
13. (U. E. Londrina-PR) Considere dois rolos de barbante, um com 96 m e outro com 150 m de comprimento. Pretende-se cortar todo o barbante dos dois rolos em pedaos de mesmo comprimento. O menor nmero de pedaos que poder ser obtido :
a) 38 
b) 41 
c) 43 
d) 52 

14. A soma de trs nmeros naturais consecutivos  sempre um nmero: 
a) par 
b) mpar  
c) primo 
d) mltiplo de 3 

15. (UF-RN) Para os festejos natalinos, uma fbrica de doces lanar uma caixa de chocolates. O nmero de chocolates poder ser dividido igualmente (sem fracion-los) entre 2, 3, 4, 5 e 6 pessoas, no havendo sobra. O menor nmero de chocolates que essa caixa dever conter ser:
a) 180 
b) 120 
c) 60 
d) 30 

16. (Fatec-SP) Um certo planeta possui dois satlites naturais (Lua A e Lua B); o planeta gira em torno do Sol e os satlites, em torno do planeta, de forma que os alinhamentos so os seguintes:
 Sol-planeta-Lua A: ocorre a cada 18 anos; 
 Sol-planeta-Lua B: ocorre a cada 48 anos. 
  Se hoje ocorrer o alinhamento Sol-planeta-Lua A-Lua B, ento o fenmeno se repetir daqui a: 
a) 48 anos 
b) 66 anos 
c) 96 anos
d) 144 anos  
<p>
17. (UF-SE) Trs nibus A, B e C partem simultaneamente do Terminal Rodovirio de Aracaju para trs cidades distintas da regio metropolitana. Sabe-se que A torna a partir do terminal a cada 40 minutos; B, a cada 60 minutos e C, a cada 90 minutos. Nessas condies, quanto tempo, em horas, ter decorrido at que os trs nibus partam novamente juntos desse terminal?
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 

18. (U. E. Londrina-PR) Em 1982 ocorreu uma conjuno entre os planetas Jpiter e Saturno, o que significa que podiam ser vistos bem prximos um do outro quando avistados da Terra. Se Jpiter e Saturno do uma volta completa ao redor do Sol aproximadamente a cada 12 e 30 anos, respectivamente, em qual dos anos seguintes ambos estiveram em conjuno no cu da Terra?
a) 1840 
b) 1852 
c) 1864 
d) 1922
<F+>
<R-> 
<151>

Matemtica no tempo

Pitgoras e as propriedades dos 
  nmeros 

  Nos primrdios da histria, alguns povos superaram culturalmente outros, e a matemtica foi um dos fatores preponderantes para isso. Egpcios e babilnios, por exemplo, criaram uma bagagem matemtica notvel para a poca, porm limitada ao dia a dia, isto , praticamente restrita ao clculo de reas de terrenos, de volume de silos, e de impostos sobre lotes
<P>
de terra. Nada era justificado ou formulado genericamente na matemtica desses povos. 
  A situao tomou outro rumo por volta do sculo VII a.C., quando o povo grego comeou a se interessar por essa matria. Com os gregos, o foco do estudo mudou para os *porqus*, em vez de *como*, caracterstico da matemtica de egpcios e babilnios. Essa mudana teve incio com Tales de 
Mileto (c. 625-547 a.C.), mas s se firmou com Pitgoras de Samos (c. 580-500 a.C.) e alguns membros da escola fundada por ele (os pitagricos) em Crotona, colnia grega situada na Itlia. Essa escola dedicava-se ao estudo da Matemtica e da Filosofia, em meio a um clima de misticismo. 
   possvel que na escola pitagrica tenha se estabelecido, pela primeira vez na histria, a ideia
<P>
de que a matemtica lida com abstraes. E, talvez em funo disso, a matemtica tenha comeado a ser cultivada sem que se pensasse em possveis aplicaes prticas. 
  Por incrvel que parea, essa atitude dos pitagricos acabou contribuindo, a longo prazo, para algumas das realizaes mais notveis da matemtica no terreno prtico. De fato, foram eles, por 
exemplo, que iniciaram o estudo terico dos nmeros, introduzindo conceitos como o de nmero par, nmero mpar, nmero primo, mltiplo e divisor, os quais, quando explorados devidamente, so ricos em aplicaes. 
  Os pitagricos acreditavam que os nmeros inteiros positivos e suas relaes governavam os reinos da cincia, da filosofia e da religio. Da o lema da escola: Tudo tem um nmero. Movidos por essa crena, iniciaram o estudo das propriedades dos nmeros.
<P>
Coerentemente com suas ideias, estabeleceram uma distino entre a arte dos clculos prticos do dia a dia *logistike* e a cincia dos nmeros *aritmetike*.
Para eles, s a aritmetike era considerada digna de estudos. 
  No restaram escritos dos pitagricos, provavelmente pela tradio da escola de ensino oral e a 
possvel proibio de anotaes. Mas muito do que eles criaram encontra-se, numa forma j bastante elevada, na obra *Os elementos*, de Euclides (c. 300 a.C.), a qual dedica trs de seus treze livros ao estudo da aritmetike. Nessa obra, a teoria da divisibilidade  explorada de maneira bastante profunda e consistente para a poca, embora numa linguagem geomtrica, comum  matemtica grega. 
  A preocupao em associar nmeros a tudo pode ter sido a razo para os pitagricos buscarem padres geomtricos formados de
<P>
pontos ou pedrinhas, nascendo da os *nmeros poligonais* ou *figurados*. Por exemplo: 

<F->
Nmeros triangulares

o 1

o      
_      
_       
_       
_       
o:::o  3

o
_ 
_  
_   
o   o  6
_    
_     
_      
_        
_        
o:::o:::o
<p>
Nmeros quadrados

o 1

o::::o
_      l
_      l
_      l
o::::o 4

o::::o::::o
_            l
_            l
_            l
o::::o    o 9
_      l     l
_      l     l
_      l     l
o::::o::::o
<F+>

  H ainda os nmeros pentagonais, hexagonais e assim por diante.
<152>
   possvel que os pitagricos tenham descoberto tambm os *nmeros perfeitos* -- nmeros iguais  soma de seus divisores, excludos
<P>
eles prprios. O 6 e o 28, por exemplo, so perfeitos, pois:
6=1+2+3 e 28=1+2+4+7+14 
  As pesquisas sobre nmeros perfeitos no se esgotaram. No se sabe ainda se h algum nmero perfeito mpar nem se o conjunto dos nmeros perfeitos  finito. A busca de nmeros perfeitos cada vez maiores ainda atrai muitos matemticos (profissionais e amadores). 

<F->
<R+>
Explorando a leitura 

1. Os pitagricos descobriram o seguinte: Se um nmero mpar  divisor de um nmero par, tambm  divisor de sua metade. 
a) D trs exemplos comprovando esse fato. 
b)  possvel ter certeza absoluta desse resultado por meio de exemplos? Por qu? 
<p>
2. Observe as figuras do texto: o segundo nmero quadrado  igual  soma do primeiro nmero triangular com o segundo; o terceiro nmero quadrado  igual  soma do segundo nmero triangular com o terceiro. 
a) Mostre que o quinto nmero quadrado  a soma do quarto nmero triangular com o quinto. 
b) Pode-se provar que esse padro  geral. Como voc o formularia? 

3. Responda: 
a) Quais so os prximos trs termos da sequncia de nmeros triangulares 1, 3, 6, ...? 
b) E os prximos trs termos da sequncia de nmeros quadrados 1, 4, 9, ...? 

4. Mostre que 496  um nmero perfeito. 
<p>
5. Em 10 de julho de 1796, o alemo Karl F. Gauss (ento com 19 anos de idade) registrou em seu dirio um interessante resultado aqui expresso de maneira mais simples e detalhada: Todo nmero natural no nulo pode ser decomposto numa soma de trs parcelas, envolvendo apenas zeros e nmeros triangulares. 
<R->
<F+>
  Por exemplo: 
  1 = 0+0+1 
  8 = 1+1+6 
  20 = 0+10+10 
<R+>
<F->
  Gauss viria a ser um dos maiores matemticos de todos os tempos. 
  Obtenha decomposies do tipo do enunciado de Gauss para os nmeros 24, 30 e 36. 
<F+>
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Terceira Parte
